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El Teorema de Fermat nos dice que si una función \( f \) tiene un máximo o mínimo local en un punto \( x_0 \), y si la derivada \( f'(x_0) \) existe, entonces \( f'(x_0) = 0 \). Es decir, si \( x_0 \) es un punto en el que la función tiene un máximo o un mínimo, y la función es derivable en ese punto, entonces la derivada de la función en ese punto seguro vale cero. Ahora, muy importante, no vale la inversa. Es decir, si en un punto la derivada se anula, no quiere decir que ahí si o si va a haber un máximo o un mínimo.
Vamos a analizar la función \( f(x) = x^3 + 3x^5 \) en el intervalo \([-1, 1]\). Primero, calculamos la derivada de \( f \):
$ f'(x) = 3x^2 + 15x^4 $
Evaluemos la derivada en \( x_0 = 0 \) y, efectivamente...
$ f'(0) = 0 $
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
b) Sea $f(x)=x^{3}+3 x^{5},-1 \leq x \leq 1$. Pruebe que en $x_{0}=0 f$ no tiene extremo y que $f^{\prime}(0)=0$. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Fermat?
b) Sea $f(x)=x^{3}+3 x^{5},-1 \leq x \leq 1$. Pruebe que en $x_{0}=0 f$ no tiene extremo y que $f^{\prime}(0)=0$. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Fermat?
Respuesta
Aclaración: Los primeros 4 ejercicios de esta práctica son bastante teóricos y no tienen nada que ver con el enfoque de los parciales. La posta en esta práctica arranca después.
Decimos entonces que $x=0$ es un punto crítico, es decir, es un candidato a máximo o mínimo. Para determinar si efectivamente es un extremo de la función, hay que evaluar el comportamiento alrededor de $x=0$. Esto ya lo vamos a ver en profundidad principalmente a lo largo de la Práctica 7, pero el signo de la derivada nos habla del comportamiento de la función, en particular nos dice si la función es creciente o decreciente en un intervalo. En este caso, $f'(x)$ es siempre positiva, eso nos dice que $f$ es siempre creciente. Por lo tanto, como la función es siempre creciente, \( x_0 = 0 \) no puede ser un máximo ni un mínimo local.
Esto no contradice el Teorema de Fermat, porque el teorema simplemente nos dice que si hay un extremo (máximo o mínimo), entonces la derivada ahí se anula. No dice que si la derivada se anula en un punto, entonces necesariamente debe haber un extremo, atenti con eso.